Pohyb tělesa po eliptické trajektorii v radiálním gravitačním poli
Jde o pohyby těles, jejichž trajektorie zasahují do oblastí, ve kterých již nelze považovat gravitační pole za homogenní.Podél trajektorie těchto těles se mění velikost i směr intenzity gravitačního pole , a tím i velikost a směr gravitačního zrychlení, přičemž jejich vektory směřují do gravitačního středu obíhané planety.
Pohyb malého tělesa v gravitačním poli osamoceného tělesa s mnohonásobně vyšší hmotností lze nejsnáze vyšetřit ve vztažné soustavě, jejíž počátek leží ve středu velkého tělesa a souřadnicové osy směřují ke vzdáleným hvězdám.Zároveň tuto soustavu považujeme za inerciální.Na malé těleso působí přitažlivá síla (01) ,
kde M je hmotnost centrálního tělesa. M hmotnost malého, r jeho vzdálenost od středu centrálního a c je gravitační konstanta.
Uvažujeme pohyby,při kterých je tělesům v dostatečné vzdálenosti od povrchu Země, kde je odpor vzduchu zanedbatelně malý, udělena počáteční rychlost v0 ve směru kolmém k vektoru intenzity pole K. Při poměrně malé počáteční rychlosti v0 se těleso pohybuje po trajektorii, která je částí elipsy, jejíž jedno ohnisko leží ve středu Země. Elipsa je tím delší, čím je počáteční rychlost větší. Při větší počáteční rychlosti těleso opisuje celou elipsu. Při určité hodnotě počáteční rychlosti opíše těleso kružnici se středem v gravitačním středu Země.Tuto rychlost nazýváme kruhová rychlost vk. Pro velikost kruhové rychlosti platí vztah (02)
kde h je výška tělesa nad povrchem Země. Pro h=0 vk=7900 ms-1 a nazývá se první kosmická rychlost.
Geometrie elipsy: Při výpočtech budu používat standartní značení elipsy: ½AS½=½SB½=a -hlavní poloosa ½CS½=½DS½=b -vedlejší poloosa ½F1S½=½F2S½=e -excentricita elipsy. Podíl (08) se nazývá číselná výstřednost elipsy.
Dále platí: (03)
Dále počítám s hodnotami: gravitační konstanta c=6,674*10-11 N*m2 kg-2
poloměr Země: Rz=6370 km
hmotnost Země Mz=6,0*1024 kg
Oskulační kružnice jsou kružnice, kterými můžeme nahradit oblouky v okolí vrcholů.Pro jejich poloměry r1 ,r2
Platí: (04)
Keplerovy zákony:
(A)Planety se pohybují okolo Slunce po elipsách málo odlišných od kružnic, v jejichž společném ohnisku je Slunce.
(B)Obsahy ploch opsaných průvodičem planety za jednotku času jsou konstantní.
(C)Poměr druhých mocnin oběžných dob dvou planet se rovná poměru třetích mocnin velkých poloos jejich trajektorií.
Pomocí těchto zákonů Kepler popsal jak se planety pohybují, ale ne proč se tak děje.Tento problém vyřešil až Isaac Newton, který objevil gravitační zákon, sestavil pohybovou rovnici hmotného bodu v radiálním gravitačním poli a jejím řešením Keplerovy rovnice odvodil.
Ad (A),(B): Obsah plochy DS opsané průvodičem planety za krátkou dobu Dt určíme jako obsah trojúhelníka určeného průvodičem r a vektorem vDt, kde v je okamžitá rychlost planety.Jestliže oba vektory svírají úhel a, pak platí: (05)
(06)
w udává obsah plochy opsané průvodičem za jednotku času a nazýváme jej plošná rychlost planety. Podle 2.Keplerova zákona je pro danou planetu konstantní.Pohybuje-li se planeta po eliptické trajektorii s délkou hlavní poloosy a a excentricitou e,délka průvodiče i úhel a se mění.Proto se mění i velikost okamžité rychlosti planety.Největší je rychlost vp v periheliu, kdy je vzdálenost planety od Slunce nejmenší: rp= a - e a nejmenší v afeliu, kdy je vzdálenost planety největší: rp= a + e . V obou případech je a=90°.
Platí: (07)
Příklad: Trajektorie Pluta má délku velké poloosy a=39,5 značnou číselnou výstřednost e=0,248. Trajektorie Neptuna má přibližně tvar kružnice o poloměru 30,1 AU. Vypočítejte vzdálenost Pluta od Slunce v periheliu a porovnejte ji s poloměrem trajektorie Neptuna.
Zápis: a=39,5 AU
e=0,248
r=? [AU]
Vyjdeme ze vztahu (08)
Po úpravě: e=a*e
Dosazení: e= 39,5 * 0,248
e=9,796 AU
Ze vztahu (07) platí: rp=a-e
Dosazení: rp=39,5 - 9,796
rp=29,704 AU
rnep=30,1
rnep > rp
Vzdálenost Pluta od Slunce v periheliu je přibližně stejná jako poloměr trajektorie Neptuna.
Mechanická energie tělesa na eliptické trajektorii.
Při pohybu hmotného bodu po eliptické trajektorii se mění jeho okamžitá rychlost i vzdálenost od středu centrálního tělesa.Mění se tedy i jeho kinetická a potenciální energie, ale celková mechanická energie zůstává konstantní
Pro kinetickou energii platí: 2 (09)
Pro výpočet gravitační potenciální energie platí: (10)
Pro velikost rychlosti v kterémkoli bodě eliptické trajektorie platí: (11)
Příklad: Jak velkou práci musejí vykonat motory rakety,aby vynesly družici o hmotnosti 1500kg do výšky 630 km a udělily jí rychlost potřebnou pro pohyb po trajektorii ve tvaru kružnice?
Zápis: m=1500kg
h=630km = 630*103 m
W=? [J]
Celková práce je rovna součtu kinetické energie, kterou musíme dodat,aby se těleso v dané výšce pohybovalo kruhovou rychlostí a energie gravitační potenciální, kterou těleso v dané výšce má.
W=EPG+Ek
Do vztahu (09) 2 dosadíme za v vztah pro kruhovou rychlost (02) .
Po úpravě:
V tomto případě uvažujeme potenciální gravitační energii za kladnou.(5)
Po dosazení:
Po úpravě:
Po dosazení číselných hodnot: W=1*1012 J
Motory musí vykonat práci 1 TJ.
Příklad: Jakou počáteční rychlost bychom museli udělit tělesu v těsné blízkosti Země, aby se trvale vzdálilo z dosahu jejího gravitačního pole?
Tvar elipsy opisované tělesem je ovlivněna počáteční rychlostí. Viz (2) Při počáteční rychlosti se mění uzavřená elipsa na parabolu a těleso se trvale vzdaluje od Země. Rychlost vp se nazývá parabolická . V blízkosti povrchu Země, kde je h daleko menší než Rz a lze jej tedy zanedbat, je velikost parabolické rychlosti dána vztahem (12)
Po dosazení hodnot je vp=11200 ms-1
Tato rychlost je nazývána druhou kosmickou rychlostí.
Výpočet rozměrů eliptické trajektorie a doby oběhu z okamžitého pohybového stavu tělesa
V okolí pericentra(perihelia,perigea,…) probíhá pohyb tělesa jako rovnoměrný pohyb po oskulační kružnici o poloměru r1 způsobený dostředivou gravitační silou FG.
Ze vztahů (01)(03)(04) a po užití substituce (13) dostáváme tyto vztahy:
(14); (15); . (16)
D je celková mechanická energie obíhajícího tělesa při jeho průletu pericentrem dělená jeho hmotností, tedy měrná mechanická energie. Podle zákona zachováni energie se ovšem celková mechanická energie během obíhání nemění a můžeme ji vypočítat z polohy a okamžité rychlosti v kterémkoli bodě trajektorie podle výše uvedených vztahů.
Pro dobu oběhu platí: (17)
Příklad: Družici Země byla ve výšce 200 km udělena kolmo k průvodiči rychlost o velikosti 8500 ms-1. Vypočtěte rozměry její trajektorie a dobu oběhu.
Zápis: v=8500 ms-1
h=200 km = 200*103 m
a=? [m]
b=? [m]
T=? [s]
r=Rz+h
Po dosazení: r=6,57*106 m
Po dosazení do vztahů (10)(11)(12)(13)(14) dostáváme:
D= -24824771 J
a= 8065330 m Po zaokrouhlení a = 8,1*106 m
w= 2,8*1010
b=7947498 m; po zaokrouhlení b=8*106 m
doba oběhu: T=7188 s ; po zaokrouhlení T=2h
Doba oběhu družice činí 2h. Pohybuje se po elipse, jejíž délka hlavní poloosy je 8,1*106 m a vedlejší 8*106 m.
Příklad:Umělá družice obíha po eliptické dráze kolem Země.Její maximální vzdálenost od povrchu Země je H, minimální h.
a)Určete rychlost družice v perigeu, v apogeu a v koncovém bodě malé poloosy dráhy
b)Kolikrát se musí zvětšit rychlost družice při průchodu perigeem, aby se od tohoto bodu dráhy pohybovala po parabolické dráze? Řešte nejprve obecně, pak pro H=1,67*106 m h=0,0225*106
Zavedeme substituci: Rz+H=X
Rz+h=x
Platí
Po dosazení:
Dosadíme do vzorce (11)
Pro vzdálenost v periheliu platí: r=a-e
Pro vzdálenost v afeliu platí: r=a+e
Po dosazení a úpravě:
Stejně
Po dosazení číselných hodnot a zaokrouhlení: vp=8400 ms-1
va=6650 ms-1
odtud
Po dosazení do vztahu a úpravě dostáváme
Pro velikost rychlosti v koncovém bodě malé poloosy dosadíme do (11) b=r.
Odtud vb=7500 ms-1
Rychlost družice je v periheliu 8400 ms-1 afeliu 6650 ms-1 v koncovém bodě malé poloosy 7500 ms-1
b) Po dosazení do vzorce dostáváme vk=7900 ms-1
Aby se dále těleso pohybovalo po parabolické dráze, muselo by dosáhnout druhé kosmické rychlosti,viz (12) tedy zvýšit svou rychlost 1,42 krát.
PŘIDEJTE SVŮJ REFERÁT
Tisknout -
Poslat(@) -
Stáhnout -
Uložit->Moje referáty -
Přidat referát